domingo, 31 de mayo de 2015

Vector.
En Matemáticas se define un vector como un elemento de un espacio vectorial. Esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo, la longitud y la orientación. En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese modo. Los vectores en un espacio euclídeo se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos («flechas») en el plano

\R^2

o en el espacio

\R^3

La parábola
Obtención en un cono

La antena parabólica

La antena parabólica es un tipo de antena que se caracteriza por llevar un reflector parabólico, cuya superficie es en realidad un paraboloide de revolución. Las antenas parabólicas pueden ser transmisoras, receptoras o full dúplex, llamadas así cuando pueden trasmitir y recibir simultáneamente. Suelen ser utilizadas a frecuencias altas y tienen una ganancia elevada.

El horno solar

La dirección de propagación de una onda se representa mediante líneas que se denominan rayos, la forma de la superficie en la que inciden determina la dirección de los rayos reflejados. Cuando la forma de dicha superficie es parabólica, todos los rayos que llegan paralelos al eje de la parábola se reflejan y pasan por un mismo punto al cual se denomina foco. Esta es la propiedad fundamental en la cual se basa el funcionamiento de todas las cocinas solares parabólicas.

El espejo parabólico

La geometría establece que si desde un punto de la mediatriz de un segmento trazamos las semirrectas que lo unen con los extremos del segmento los ángulos obtenidos son iguales.

Lámpara hiperbólica.

Muchos tienen en sus casas esas lámparas con pantalla que se usan en los living-rooms o en la mesas de luz de las habitaciones, que al estar encendidas emanan un cono de luz hacia arriba y otro hacia abajo, los cuales forman sobre la pared dos figuras con forma de hipérbole.

Hiperbola.

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia de distancias (d₁ y d₂) a dos puntos fijos llamados focos (F₁ y F₂) es constante.

El valor de esa constante es la distancia entre los vértices V₁ y V₂ de la hipérbola (2a).

Fórmula de la de la diferencia de distancias de los puntos de la hipérbola.

Método del jardinero.
https://www.youtube.com/watch?v=05900HZcosg

Elipse

Tipos:

En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β):

β < α : Hipérbola (naranja)
β = α : Parábola (azulado)
β > α : Elipse (verde)
β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)

Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:

Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono).
Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice.
cuando β = 90º El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye, hasta alcanzar el máximo (α) cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).

La circunferencia

La circunferencia sólo posee longuitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.

Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales, o los focos coinciden. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un poligono regular de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.

La intersección de un plano con una superficie esférica puede ser: o bien el conjunto vacío (plano exterior); o bien un solo punto (plano tangente); o bien una circunferencia, si el plano secante pasa por el centro, se llama ecuador.

Las conica.

En geometría, un cono recto es un solido de revolución generado por el giro de un triangulo rectangulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se denomina base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vértices o cúspide.

Superficie cónica se denomina a todasuperficie reglada conformada por el conjunto de rectas que teniendo un punto común (el vértice), intersecan a una circunferencia no coplanaria.

Mediatriz y bisectriz.

La bisectriz de un ángulo es la recta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de las semirrectas de un ángulo.
La mediatriz de un segmento es la linea recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio. Equivalentemente se puede definir como el lugar geométrico la recta cuyos puntos son equidistantes a los extremos del segmento. También se le llama simetral.

¿Qué es un lugar geométrico?
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas condiciones o propiedades geométricas.

En el plano

El lugar geométrico de los puntos que equidistan a otros dos puntos fijos

A

B

es una recta o eje de simetría de dichos dos puntos. Si los dos puntos son los dos extremos de un segmento

AB

, dicha recta o lugar geométricos, se llamada mediatriz y es la recta que se interseca perpendicularmente a

AB

en su punto medio.
La bisectriz es también un lugar geométrico. Dado un ángulo la bisectriz cumple la propiedad de que todos sus puntos equidistan a los lados de dicho ángulo, convirtiéndose la bisectriz en un caso particular del lugar geométrico que sigue a continuación.
Generalizando la propiedad de equidistancia a dos rectas, obtenemos que la paralela media es el lugar geométrico de los puntos que las equidistan. Se observa que, bajo el punto de vista de que las rectas paralelas se cortan en el infinito -se elimina, pues, la noción de paralelismo-, pasa a ser un sinónimo de la bisectriz, donde el ángulo ha tomado valor nulo. Si, por el contrario, se diferencia el concepto de paralelismo, la bisectriz vuelve a ser, como se ha dicho antes, un caso particular de esta definición y el caso de rectas paralelas, con ángulo 0, es disjunto al de las bisectrices

¿Cómo calcular la altura de un árbol a partir de su sombra? (mediante un problema)

https://www.youtube.com/watch?v=sp0YaUG7Gi4

Teorema en 3D

Surgió a partir de una imagen del blog (relativa a los números pitagóricos), se dio la discusión sobre las cuaternas pitagóricas. Mi primera respuesta fue decir que, extender al espacio el teorema de Pitágoras no es tan simple, porque ¿cuál sería el equivalente espacial de un triángulo rectángulo? ¿un prisma de base triangular o un tetraedro?

Con la misma lógica, podemos preguntarnos, cuál es el representante espacial de la circunferencia. Bueno, si lo consideramos de un punto de vista algebraico, la ecuación de una circunferencia (x²+y²=r²) representa un cilindro circular recto. Pero, geométricamente, la condición que define una circunferencia en el plano (todos los puntos que equidistan del un punto del plano), se determina una esfera (todos los puntos que equidistan de un punto del espacio).

Entonces, volviendo a la idea de extender el teorema de Pitágoras al espacio, tenemos dos posibilidades: La algebraica, que involucra prismas; y la geométrica que involucra algo más interesante, que no es un Tetraedro. En ésta segunda versión del teorema se encuentran las cuaternas Pitagóricas.

Teorema de Pitágoras.

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto)

https://www.youtube.com/watch?v=RECvoNMPjnc